BLOQUE 3
Tema: 2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de
expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
A.E.: Apliquen la multiplicación de monomios
y polinomios en la resolución de problemas.
Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el
siguiente problema:
Analicen
la siguiente figura; luego respondan lo que se pide:
a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo
blanco?______________________________________
b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco?______________________________________
c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?___________________________________
Al terminar, comparen sus respuestas con las de otros
equipos.
A.E.:
Realicen
multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas.
Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el
siguiente problema:
Se
está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:
Figura 1 Figura 2
Mide de lado X Mide de largo X y de ancho 4
Plataforma
De
acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:
a)
¿Cuáles
son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?
b)
¿Cuál
es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?
c)
¿Cuál
es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?
d)
Si
x es igual a 50 cm , ¿cuál es el perímetro
y área de la plataforma?
Consideraciones previas:
Resuelvan
algunos ejercicios como por ejemplo:
Para practicar las operaciones con monomios y polinomios http://www.ematematicas.net/monomios.php?a=1
A.E.: Realicen divisiones de un
polinomio entre un monomio al resolver problemas.
Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.
Consideraciones previas:
Para
resolver este problema pueden optar por dos vías, una, que es poco
probable, consiste en dividir el área entre la medida del ancho y la otra, que
piensen por cuánto tienen que multiplicar el ancho para obtener el área. Confirmar procedimiento para mostrar cómo se puede dividir un polinomio entre un
monomio.
Para
practicar resuelve los siguientes ejercicios:
A.E.: Obtengan la regla para
calcular el cuadrado de la suma de dos números.
Actividad. Con las siguientes figuras
(Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez más grandes, ver
por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta
información completen la tabla que aparece enseguida. Trabajen en equipos.
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Núm. de cuadrado
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Medida de un lado
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Perímetro
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Área
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1
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x + 1
|
4(x+1)=
|
(x+1)2
=(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
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2
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3
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4
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5
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6
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a
|
x + a
|
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(x + a)2
= (x + a)(x + a) =
|
Para calcular el área
de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos
números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar
términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos
sin hacer la multiplicación?___________________
______________________________________________________________
Consideraciones previas:
Conviene que todos
estén claros de que cuando se eleva al cuadrado un binomio el resultado
final son tres términos, de los cuales:
El primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado
El segundo es el producto de los dos términos del
binomio, multiplicado por dos
El tercero es el segundo término del binomio, elevado
al cuadrado.
Esta expresión que
resulta de elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.
Aplicando esta regla
obtenemos:
3052 = (300+ 5)2 =3002 + 2 x 5 x 300 + 52
A.E.: Obtengan la regla para
calcular el cuadrado de la diferencia de dos números.
Actividad. En equipos, resuelvan el
siguiente problema:
De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes
y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el
área de la parte sombreada de la
Fig. B ?
 |
| Figura B |
Consideraciones previas:
Después de aclarar lo
anterior hay que hacer notar que en este caso, igual que cuando se trata de la
suma de dos números elevada al cuadrado, el resultado es un trinomio cuadrado perfecto, sólo que,
el segundo término es negativo.
Para consolidar lo
aprendido hay que plantearles otros ejercicios para resolver en el salón y de
tarea. Por ejemplo:
a)
(x + 9)2 =
b)
(x – 10)2 =
c)
(2x
+y)2=
d)
(x
+ m)(x + m) =
e)
(x
- 6)(x -6 ) =
También se pueden
proponer otros ejercicios en los que hagan uso de la regla para calcular el
resultado de elevar al cuadrado un binomio; por ejemplo:
(1996)2 = (2000 – 4)2 =20002 - 2 x 4 x 200 + 42
A.E.: Factoricen trinomios cuadrados perfectos.
Actividad. En equipos, resuelvan el siguiente
problema: La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un
cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es x2 +16x+64,
¿Cuánto mide un lado de la figura
completa? ______________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado
grande?____________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado
chico?_____________
Anoten
dentro de la figura el área de cada parte.
La
expresión x2 +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como un producto
de dos factores: _________________________
Consideraciones previas: Aprecien que el cuadrado de un binomio da como
resultado un trinomio cuadrado perfecto y que un trinomio cuadrado perfecto
se puede expresar como el cuadrado de un binomio o como el producto de dos
factores iguales. Hay que decirles que este último proceso se llama factorización.
A.E.: Encuentren la relación
entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios
conjugados.
Actividad. En equipos resuelvan el
siguiente problema:
De un cuadrado de lado x,
se corta un cuadrado más pequeño de lado y,
como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura
1, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información
contesten:
a)
¿Cuál
es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño?
________________________
b)
Anoten
las medidas del rectángulo de la figura 2
Largo:___________ ancho:_____________
c)
Expresen
el área de la figura 2.
A=_______________
d)
Escriban
al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos
cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de
la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______
______________________________________________________________
Consideraciones previas:
La figura 1 le da
significado a la expresión x2
– y2, mientras que la figura 2 le da significado a la expresión
(x+y)(x-y), y, dado que las áreas son iguales, se puede concluir que las
expresiones que las representan son equivalentes. Sin embargo, como en los
casos anteriores, es necesario que los alumnos resuelvan varios ejercicios,
tanto para encontrar la diferencia de cuadrados como el producto de los
binomios conjugados. Por ejemplo:
a)
(3m
+ 2n)(3m - 2n) =
b)
(4xy – 2x)(4xy + 2x) =
a) a2 – b2
=
b) x2 – 4n2 =
c) ____ – 16y2 = ( ___ + 4y )(5x
- ____ )
d) x2 – 400 =
e) 25x2 – 64 =
Se puede utilizar
para realizar las siguientes multiplicaciones
ejemplo:
(101)(99) = (100 + 1) (100 – 1) = 1002
– 12 = 10 000 – 1 = 9 999
A.E.: A partir de un modelo
geométrico, factoricen un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios con un término
común.
Actividad. En equipo, resuelvan el
siguiente problema:
Con las figuras A, B, C y D
se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesten y
hagan lo que se indica.
a)
¿Cuáles
son las dimensiones del rectángulo construido?
Base:_________ altura:_____________
 |
| Figura E |
a)
Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x2+8x+15,
¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?
Base:_______________ altura:________________
b)
Verifiquen que al
multiplicar la base por la altura obtienen x2+8x+15
c)
Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir
de un trinomio que no es cuadrado perfecto. ___________________________________
_____________________________________________________________
Consideraciones
previas:
Se espera
que los alumnos encuentren que las dimensiones del rectángulo son: (x +7) y
(x+5) y que el área es x2 + 12x + 35
Cuando la mayoría de
los equipos haya terminado, hay que hacer una puesta en común de los resultados
y aclarar todas las dudas que pudieran surgir.
Es conveniente
aclarar que los dos binomios que representan las dimensiones del rectángulo,
son dos binomios con un término común (en este caso x). Luego analizar la regla que hayan escrito para factorizar el
trinomio. Hay que tomar en cuenta que ésta es una tarea compleja, pero quizá
algunos alumnos se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta
con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el
coeficiente del segundo término y multiplicados den como resultado el tercer
término del trinomio.
Para que practiques completa
de manera que se cumpla la igualdad en cada caso:
a) m²
– 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ )
b) c²
+ 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ )
c) x² - 22x +
120 = ( ___ - ___ )(x - 12)
d) x² + 11x + 18
= ( )( )
e) (4x2
+2y)( 4x2 – 2y)=
Para
que practiques las identidades notables.
respuestas por favorrrrrrrrrr
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