domingo, 20 de enero de 2013

SEGUNDO GRADO
BLOQUE 3
Tema: 2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

A.E.: Apliquen la multiplicación de monomios y polinomios en la resolución de problemas.

Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Analicen la siguiente figura; luego respondan lo que se pide:

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo blanco?______________________________________
b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco?______________________________________
c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?___________________________________
Al terminar, comparen sus respuestas con las de otros equipos.



A.E.:  Realicen multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas.

Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:
Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:

Figura 1                                 Figura 2
Mide de lado X                      Mide de largo X y de ancho  4
     


                                                  Plataforma

De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:

a)    ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?
b)    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?
c)    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?
d)    Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?

Consideraciones previas:
Resuelvan algunos ejercicios como por ejemplo:



Para practicar las operaciones con monomios y polinomios http://www.ematematicas.net/monomios.php?a=1


A.E.: Realicen divisiones de un polinomio entre un monomio al resolver problemas.

Actividad: Organizados en equipos,  resuelvan el siguiente problema.

¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?

Consideraciones previas:
Para resolver este problema pueden optar por dos vías, una, que es poco probable, consiste en dividir el área entre la medida del ancho y la otra, que piensen por cuánto tienen que multiplicar el ancho para obtener el área. Confirmar procedimiento para mostrar cómo se puede dividir un polinomio entre un monomio.
Para practicar resuelve los siguientes ejercicios:








A.E.: Obtengan la regla para calcular el cuadrado de la suma de dos números.

Actividad. Con las siguientes figuras (Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez más grandes, ver por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta información completen la tabla que aparece enseguida. Trabajen en equipos.
















Núm. de cuadrado
Medida de un lado
Perímetro
Área
1
x + 1
4(x+1)=
(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
2



3



4



5



6



a
x + a

(x + a)2 = (x + a)(x + a) =

Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos sin hacer la multiplicación?___________________
______________________________________________________________


Consideraciones previas:
Conviene que todos estén claros de que cuando se eleva al cuadrado un binomio el resultado final son tres términos, de los cuales:
El primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado
El segundo es el producto de los dos términos del binomio, multiplicado por dos
El tercero es el segundo término del binomio, elevado al cuadrado.

Esta expresión que resulta de elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

Aplicando esta regla obtenemos:
305= (300+ 5)=300+ 2 x 5 x 300 + 52


A.E.: Obtengan la regla para calcular el cuadrado de la diferencia de dos números.

Actividad. En equipos, resuelvan el siguiente problema:

De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B?







Figura B
Consideraciones previas:
Después de aclarar lo anterior hay que hacer notar que en este caso, igual que cuando se trata de la suma de dos números elevada al cuadrado, el resultado es un trinomio cuadrado perfecto, sólo que, el segundo término es negativo.

Para consolidar lo aprendido hay que plantearles otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo:

a)    (x + 9)2 =
b)    (x – 10)2 =
c)    (2x +y)2=
d)    (x + m)(x + m) =
e)    (x - 6)(x -6 )  =

También se pueden proponer otros ejercicios en los que hagan uso de la regla para calcular el resultado de elevar al cuadrado un binomio; por ejemplo:

(1996)2 = (2000 – 4)=2000- 2 x 4 x 200 + 42


A.E.:  Factoricen trinomios cuadrados perfectos.

Actividad. En equipos, resuelvan el siguiente problema: La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es x2 +16x+64,

¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?_____________
Anoten dentro de la figura el área de cada parte.
La expresión x2 +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como un producto de dos factores: _________________________


Consideraciones previas: Aprecien  que el cuadrado de un binomio da como resultado un trinomio cuadrado perfecto y que un trinomio cuadrado perfecto se puede expresar como el cuadrado de un binomio o como el producto de dos factores iguales. Hay que decirles que este último proceso se llama factorización.

A.E.: Encuentren la relación entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios conjugados.

Actividad. En equipos resuelvan el siguiente problema:
De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesten:

a)    ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño? ________________________

b)    Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2
                     Largo:___________                   ancho:_____________

c)    Expresen el área de la figura 2.     A=_______________

d)    Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______
______________________________________________________________







Consideraciones previas:
La figura 1 le da significado a la expresión x2 – y2, mientras que la figura 2 le da significado a la expresión (x+y)(x-y), y, dado que las áreas son iguales, se puede concluir que las expresiones que las representan son equivalentes. Sin embargo, como en los casos anteriores, es necesario que los alumnos resuelvan varios ejercicios, tanto para encontrar la diferencia de cuadrados como el producto de los binomios conjugados. Por ejemplo:

a)     (3m + 2n)(3m - 2n) =
b)    (4xy – 2x)(4xy + 2x) =
a)    a2 – b2 =
b)    x2 – 4n2 =
c)    ____ – 16y2 = ( ___ + 4y )(5x - ____ )
d)    x2 – 400 =
e)    25x2 – 64 =
Se puede utilizar para realizar las siguientes multiplicaciones
 ejemplo:
(101)(99) = (100 + 1) (100 – 1) = 1002 – 12 = 10 000 – 1 = 9 999

A.E.: A partir de un modelo geométrico, factoricen un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios con un término común.

Actividad. En equipo, resuelvan el siguiente problema:

Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica.
a)    ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido?
                          Base:_________             altura:_____________

¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________






Figura E






a)    Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x2+8x+15, ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?
                    Base:_______________       altura:________________

b)     Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+8x+15

c)    Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no es cuadrado perfecto. ___________________________________
_____________________________________________________________


Consideraciones previas:
Se espera que los alumnos encuentren que las dimensiones del rectángulo son: (x +7) y (x+5)  y que el área es x2 + 12x + 35
Cuando la mayoría de los equipos haya terminado, hay que hacer una puesta en común de los resultados y aclarar todas las dudas que pudieran surgir.
Es conveniente aclarar que los dos binomios que representan las dimensiones del rectángulo, son dos binomios con un término común (en este caso x). Luego analizar la regla que hayan escrito para factorizar el trinomio. Hay que tomar en cuenta que ésta es una tarea compleja, pero quizá algunos alumnos se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den como resultado el tercer término del trinomio.

Para que practiques completa de manera que se cumpla la igualdad en cada caso:
a)    m² – 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ )
b)    c² + 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ )
c)    x² - 22x + 120 = ( ___ - ___ )(x - 12)
d)    x² + 11x + 18 = (         )(         )
e)    (4x2 +2y)( 4x2 – 2y)=

Para que practiques las identidades notables.








                  

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