BLOQUE 3
Tema:
1
Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas.
Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
A.E.: Formulen
ecuaciones cuadráticas de la forma
y
que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos.
Actividad. Organizados
parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y
resuélvanlas.
a) Un
terreno rectangular mide 2 m
más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?
a) Erick
es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es
340, ¿cuántos años tiene Erick?
Consideraciones
previas
La forma general de las ecuaciones cuadráticas es ax2 + bx + c =
0, donde a ¹0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Luego,
formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se
indica en la siguiente tabla:
ax2
|
bx
|
C
|
Término
de segundo grado o cuadrático
|
Término
de primer grado o lineal
|
Término
independiente
|
Esto
llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación
de la fórmula general que es:
Determina
los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la
fórmula general.
Ecuación
|
a
|
b
|
c
|
Resultado
|
2x2 + 2x + 3
= 0
|
||||
5x2 + 2x = 0
|
||||
36x – x2 = 62
|
Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de
que el valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos
soluciones o ninguna, en los números reales.
Pueden bajar el archivo cuadrati.xls de esta dirección, en la sección de Funciones Cuadráticas
caudrati,xls
caudrati,xls
.
A.E.:
Asocien el valor del
discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución
de la ecuación.
Actividad: Organizados
en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac
(discriminante) y las soluciones de cada ecuación. Luego contesten
lo que se pide:
ECUACIÓN
|
VALOR DEL DISCRIMINANTE
b² - 4ac
|
SOLUCIONES
|
3x² - 7x + 2 = 0
|
x1= _____, x2
= _____
|
|
4x² + 4x + 1 = 0
|
x1= _____, x2
= _____
|
|
3x2 -7x +5 = 0
|
x1= _____, x2
= _____
|
a)
Si
el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la
ecuación? ______________________________
b)
Si
el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la
ecuación? ______________________________
c)
Si
el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la
ecuación? ______________________________
Consideraciones
Previas
La raíz
cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados
imaginarios.
La discusión generada acerca de la relación que los
alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a
determinar tres tipos de soluciones:
Discriminante
|
Tipo de solución
|
b2
-4ac >0
|
Dos
raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etc.
|
b2
-4ac =0
|
Solución
única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc.
|
b2
-4ac <0
|
Sin
solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución
es imaginaria i). Por
ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 –
4 i)/6)
|
Se sugiere realizar la
actividad complementaria “Funciones Cuadráticas”, en Hoja electrónica de
cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp.
129-130.
A.E.:
Usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, al resolver
problemas.
Consigna: Organizados
en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2 , ¿cuáles son
sus dimensiones?
Consideraciones
previas
Se espera que los alumnos encuentren la ecuación
cuadrática que resuelve el problema: 3x2
+ 8x - 203 = 0 y utilicen la fórmula
general para encontrar la solución a dicho problema.
En la confrontación se deberá hacer la observación
de que sólo una de las raíces cumple con
las condiciones del problema.
Con el fin de consolidar el uso de la fórmula
general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes
ecuaciones:
a) 3x2-5x+2=0
b) x2+11x+24=0
c) 9x2-12x+4=0
d) 6x2 = x +222
e) 8x+5 = 36x2
Tema: .2. Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.
A.E. Usen los criterios de congruencia
de triángulos, al resolver problemas.
Actividad. Organizados en equipos resuelvan los
siguientes problemas.
1.
Sea ABCD un cuadrilátero, ¿qué condiciones
debe cumplir para que al trazar una de sus diagonales resulten dos triángulos
congruentes?
__________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. Se tienen dos
triángulos con el mismo perímetro; los lados del 
miden LM=5x+3, LN=2x+2
y MN=8X-1; y los lados del 
miden RS=3x+13,
RT=4x-8, y, ST=6x+9
miden LM=5x+3, LN=2x+2
y MN=8X-1; y los lados del miden RS=3x+13,
RT=4x-8, y, ST=6x+9
a) ¿Los triángulos LMN y RST son congruentes? _________
¿Por qué? _________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Consideraciones previas
Es posible que la atención se centre en el
cuadrado y que el argumento sea que tiene los cuatro lados iguales, si es así,
puede sugerirse que se analice el rectángulo, la idea es que adviertan que
esta figura no tiene lados iguales y también cumple con las condiciones del
problema. Ante esto, es posible que ahora la atención sea en los ángulos,
es decir, que contesten que las figuras deben tener los ángulos iguales, ante
esto, se puede sugerir que analicen si el rombo cumple con las condiciones, ya
que éste no tiene sus ángulos iguales. Finalmente, se trata de que los alumnos adviertan que los paralelogramos cumplen
con las condiciones del problema, por lo tanto, al trazar una diagonal en un
cuadrado, rectángulo, rombo o en un romboide, se obtienen triángulos
congruentes. Es importante preguntar las razones para considerar
congruentes a los triángulos obtenidos y que para dicho fin utilicen los
criterios de congruencia, por ejemplo, en el caso del cuadrado, los triángulos
resultantes tienen un ángulo igual (el ángulo recto) y los dos lados que lo
forman también son iguales, así, por el criterio LAL, estos triángulos son
congruentes.
En relación con el
problema 2, una forma de iniciar es averiguar las medidas de los lados de los
triángulos, para ello, considerando que los triángulos tienen el mismo
perímetro, los estudiantes podrán establecer la siguiente igualdad:
2x + 2 + 8x – 1 + 5x + 3 =
4x – 8 + 6x + 9 + 3x + 13
Al resolver la ecuación
anterior se darán cuenta que x vale 5 y que al sustituir este valor en las
expresiones que indican las medidas de los lados, resulta que los triángulos
tienen sus lados respectivamente iguales, razón suficiente para considerarlos
congruentes por el criterio LLL.
Una pregunta de reflexión es la siguiente, ¿todos los triángulos de
igual perímetro son congruentes?
A.E. Usen los criterios de
semejanza de triángulos, al resolver problemas.
Actividad. Organizados en equipos resuelvan los
siguientes problemas.
- Analicen los siguientes casos y determinen si se
trata o no de triángulos semejantes, argumenten sus respuestas:
a)
Dos triángulos isósceles ABC y MNL en los
que el ángulo desigual mide 45°.
b)
Dos triángulos rectángulos cualesquiera.
- El siguiente dibujo representa una parte lateral
de una piscina, la cual tiene 2.3 m de ancho. Con base en la información
de la figura, contesten lo que se pide.
¿Qué profundidad (x) tiene la piscina?
¿Cuál es la
distancia que hay desde el punto G hasta H?
- Dos caminos
que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes, los cuales se cruzan
por un punto O, como se muestra en la figura.
Considerando las medidas
que se muestran, ¿cuál es la longitud total de cada puente?
Consideraciones previas
En la primera situación del
primer problema, se espera que adviertan, en primer lugar, que en un triángulo isósceles hay dos lados
iguales y entre ellos el ángulo desigual, por lo tanto, si se tienen
dos triángulos isósceles con el ángulo diferente de la misma medida y además
los lados que lo forman, por medir lo mismo, resultan ser proporcionales, así,
por el criterio LAL, los triángulos ABC y MNL son semejantes. Otra reflexión
importante en esta situación es pensar en una misma figura con los dos
triángulos, donde la diferencia es la longitud de los lados iguales y en el
lado opuesto al ángulo de 45°. En este caso el sustento teórico para
considerarlos semejantes es AA (dos ángulos iguales) Una herramienta útil e
importante para argumentar las respuestas de las dos situaciones del problema 1
es el trazo y medición de las figuras. Si algún equipo hace referencia a
triángulos congruentes, vale la pena discutir ampliamente en plenaria la
relación entre la semejanza y congruencia de triángulos, es decir, deducir que la congruencia es un caso especial de la
semejanza.
Entonces,
la profundidad de la piscina es _____
Para determinar la
distancia GH se puede recurrir al teorema de Pitágoras y para ello los alumnos
pueden encontrar primero la hipotenusa de los dos triángulos rectángulos CDG y HIC y después sumar ambos
resultados; o bien considerar un solo triangulo rectángulo, donde los catetos
miden (2.3 + 1.16) y (3.45 + 1.74).
Del problema 3, es
necesario que los alumnos tengan claro lo que deben calcular, la longitud de un
puente es X + 10.2; y la del otro es Y + 6.5, por lo tanto, es necesario calcular primero los valores de x e y.
Considerando la relación de ángulos que se forman
por dos paralelas que se cortan por una transversal, se puede determinar que
los triángulos que forman al cruzarse los dos puentes son semejantes (caso AA),
los cuales se pueden representar con los dibujos siguientes:
De lo anterior
se puede establecer la proporcionalidad entre los lados, tal como se muestra:
Lo anterior muestra la longitud total de cada
puente, uno de 17 metros y el otro de 16.25 metros. La resolución de problemas
de congruencia y semejanza de triángulos demanda que los alumnos utilicen una
gran cantidad de recursos que no se restringe solo a las relaciones
geométricas, en este sentido es importante que si los alumnos no pueden
establecer o realizar las figuras, se les brinde el apoyo necesario para
continuar con el análisis de los problemas.
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