martes, 4 de febrero de 2014

LECTURA Y CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

TERCER GRADO

TEMA 5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos.


Construyan gráficas de una función cuadrática.


 Reunidos en equipos, analicen la información y luego hagan lo que se pide.

1. Se soltó una pelota en caída libre y se registraron algunos datos en la tabla.

Tiempo en segundos
0
1
2
Distancia del punto inicial hacia el suelo en metros
0
4.9
19.6

 













a) Tracen la curva que pasa por los puntos marcados.

b) Si se propone una función cuadrática de la forma como modelo continuo, ¿cuáles son los valores de a, b y c de la función para t=0, t=1 y t=2? Para encontrar dichos valores, completen y resuelvan las ecuaciones.
Para t = 0:      0 = a(02) + b(0) + c de esta ecuación se desprende que c = ______

Para t = 1:      4.9 = a(12) + b(1) de esta ecuación resulta que 4.9 =


Para t = 2       19.6 = 


La segunda y tercera ecuaciones forman un sistema de ecuaciones simultaneas del que se obtienen los valores de a y b. ¿Cuáles son esos valores? a = ____                b = ___

 c) Escriban la función que modela el fenómeno, luego, completen la tabla y grafiquen los datos.




t
d
(  t,    d  )
0
0
( 0,     0 )
1
4.9
( 1, 4.9  )
2
19.6
( 2, 19.6)
3

( 3,        )
4

( 4,        )







Con respecto al planteamiento del inciso b, se pretende que los alumnos completen el proceso para calcular los valores de a, b y c de la función  
 , aplicando conocimientos que ya han sido estudiados. 

En este caso, se espera que sustituyan los valores de t en la función y con ello determinen que:


Finalmente, se espera que puedan determinar que los valores son:



La representación algebraica (  
)  modela el fenómeno, así como su representación gráfica.



Interpreten gráficas de funciones cuadráticas.


 Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

1.   
Analicen la siguiente gráfica, ésta representa la variación del área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm).


 




a)    ¿Por qué la curva no pasa por el origen de coordenadas?
_______________________________________ ________________________

b)    ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? _________ ¿Por qué? ______________________________________________________

c)    ¿Cuánto mide la base cuando el área es igual a 4 cm2? ___________________

d)    ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? __________________________________________________

e)    ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima? ______________

Consideraciones previas: Es importante que  identifiquen claramente que las magnitudes representadas en los ejes son el largo y el área de los diferentes rectángulos cuyo perímetro siempre es igual a 10 cm.

La curva no pasa por las coordenadas (0,0), porque el rectángulo no puede tener de base 0 cm, ni su área puede ser igual a 0 cm2. Sería conveniente que cuando los alumnos comenten sus respuestas.

Se espera que no tengan dificultad en interpretar la gráfica y logren identificar las longitudes enteras de la base (2 cm y 3 cm), entre las cuales se ubica el área máxima. Si es necesario se puede sugerir que localicen en la gráfica puntos entre estas abscisas para observar la variación del área del rectángulo.

A partir de esta observación se espera que  puedan llegar a la conclusión de que el área máxima del rectángulo se obtiene cuando se convierte en un cuadrado, es decir; su largo y ancho son iguales; en este caso el largo y el ancho miden 2.5 cm y el área máxima será de 6.25 cm2. 


Interpreten gráficas de funciones cuadráticas y que expresen algebraicamente la relación.


 Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

1.    La siguiente gráfica representa la relación entre el área de una imagen proyectada en la pared y la distancia a la que se coloca el proyector. Analicen la información y posteriormente contesten lo que se pide.



a)    Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? ____________________________________________________

b)    ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2? ______________________________________

c)    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto? _________________________

d)    ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m? _________________________________________________



Consideraciones previas: En este plan, a diferencia del anterior, además de interpretar la gráfica de la función cuadrática, se pide que  encuentren la expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes; para lograrlo son fundamentales las respuestas de las dos primeras preguntas, mismas que pueden escribirse en una tabla como la siguiente:

Distancia (m)
Área (m2)
5
1
10
4

La expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes es:

, donde a es el área y d es la distancia.

Para contestar la última pregunta, los alumnos podrán hacer una estimación utilizando la gráfica, en tal caso se sugiere pedirles que verifiquen el resultado empleando la expresión algebraica encontrada o en su defecto utilizar ésta de manera directa. A una distancia de 5.5 m, el área de la imagen es 1.21 m2.


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