lunes, 13 de enero de 2014

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

SEGUNDO GRADO
BLOQUE3
Tema2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.


 Realicen multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas.

Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:


Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:




De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:

a)    ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?
b)    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?
c)    ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?
d)    Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?

Luego, se puede pedir a los alumnos que resuelvan algunos ejercicios como por ejemplo:




Practica en :

Realicen divisiones de un polinomio entre un monomio al resolver problemas.


Actividad: Organizados en equipos, los alumnos resolverán el siguiente problema.

¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?




Para saber más:


En caso de tener tiempo, se puede plantear la realización de otro problema y algunos ejercicios como por ejemplo:




Obtengan la regla para calcular el cuadrado de la suma de dos números.


Actividad. Con las siguientes figuras (Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez más grandes, ver por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta información completen la tabla que aparece enseguida. Trabajen en equipos.





Núm. de cuadrado
Medida de un lado
Perímetro
Área
1
x + 1
4(x+1)=
(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
2



3



4



5



6



a
x + a

(x + a)2 = (x + a)(x + a) =


 Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos sin hacer la multiplicación?___________________
______________________________________________________________


Conviene que todos estén claros de que cuando se eleva al cuadrado un binomio el resultado final son tres términos, de los cuales:
El primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado
El segundo es el producto de los dos términos del binomio, multiplicado por dos
El tercero es el segundo término del binomio, elevado al cuadrado

Finalmente hay que decirles que esta expresión que resulta de elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

Para practicar más:


Obtengan la regla para calcular el cuadrado de la diferencia de dos números.

Actividad. En equipos, resuelvan el siguiente problema:

De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B?




Para consolidar lo aprendido hay que plantearles otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo:
a)    (x + 9)2 =
b)    (x – 10)2 =
c)    (2x +y)2=
d)    (x + m)(x + m) =
e)    (x - 6)(x -6 )  =

También se pueden proponer otros ejercicios en los que hagan uso de la regla para calcular el resultado de elevar al cuadrado un binomio; por ejemplo:

(1996)2 = (2000 – 4)=2000- 2 x 4 x 200 + 42

Para practicar más:


Factoricen trinomios cuadrados perfectos.

Actividad En equipos, resuelvan el siguiente problema: La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es x2 +16x+64,

¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________
¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?_____________
Anoten dentro de la figura el área de cada parte.
La expresión x2 +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como un producto de dos factores: _________________________



Como resultado de esta actividad se espera que los alumnos aprecien  que el cuadrado de un binomio da como resultado un trinomio cuadrado perfecto y que un trinomio cuadrado perfecto se puede expresar como el cuadrado de un binomio o como el producto de dos factores iguales. Hay que decirles que este último proceso se llama factorización.

Después de analizar el trabajo realizado por los alumnos es necesario plantearles varios ejercicios, en primer lugar para que determinen si se trata de trinomios cuadrados perfectos y en segundo lugar para factorizarlos.

Para practicar los productos notables:


Encuentren la relación entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios conjugados.

Actividad. En equipos resuelvan el siguiente problema:
De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesten:

a)    ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño? ________________________

b)    Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2
                     Largo:___________                   ancho:_____________

c)    Expresen el área de la figura 2.     A=_______________

d)    Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______
______________________________________________________________

La figura 1 le da significado a la expresión x2 – y2, mientras que la figura 2 le da significado a la expresión (x+y)(x-y), y, dado que las áreas son iguales, se puede concluir que las expresiones que las representan son equivalentes. Sin embargo, como en los casos anteriores, es necesario que los alumnos resuelvan varios ejercicios, tanto para encontrar la diferencia de cuadrados como el producto de los binomios conjugados. Por ejemplo:

a)     (3m + 2n)(3m - 2n) =
b)    (4xy – 2x)(4xy + 2x) =
a)    a2 – b2 =
b)    x2 – 4n2 =
c)    ____ – 16y2 = ( ___ + 4y )(5x - ____ )
d)    x2 – 400 =
e)    25x2 – 64 =
También se puede proponer a los alumnos ejercicios numéricos como por ejemplo:
(101)(99) = (100 + 1) (100 – 1) = 1002 – 12 = 10 000 – 1 = 9 999

Para practicar:


A partir de un modelo geométrico, factoricen un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios con un término común.

Actividad. En equipo, resuelvan el siguiente problema:

Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica.
a)    ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido?
                          Base:_________             altura:_____________

b)    ¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________
 








a)    Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x2+8x+15, ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?
                    Base:_______________       altura:________________

b)     Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+8x+15

c)    Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no es cuadrado perfecto. ___________________________________
_____________________________________________________________

Para practicar más:


Se espera que los alumnos encuentren que las dimensiones del rectángulo son: (x +7) y (x+5)  y que el área es x2 + 12x + 35
Cuando la mayoría de los equipos haya terminado, hay que hacer una puesta en común de los resultados y aclarar todas las dudas que pudieran surgir.
Es conveniente aclarar que los dos binomios que representan las dimensiones del rectángulo, son dos binomios con un término común (en este caso x). Luego analizar la regla que hayan escrito para factorizar el trinomio. Hay que tomar en cuenta que ésta es una tarea compleja, pero quizá algunos alumnos se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den como resultado el tercer término del trinomio.

Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea; por ejemplo:

Completa de manera que se cumpla la igualdad en cada caso:
a)    m² – 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ )
b)    c² + 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ )
c)    x² - 22x + 120 = ( ___ - ___ )(x - 12)
d)    x² + 11x + 18 = (         )(         )
e)    (4x2 +2y)( 4x2 – 2y)= 

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