BLOQUE3
Tema2
Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones
algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
Realicen multiplicaciones de monomios y polinomio al resolver problemas.
Actividad: Organizados en equipos, resuelvan el
siguiente problema:
Se está
armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:
De acuerdo
con las dimensiones que se indican en los modelos:
a)
¿Cuáles
son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?
b)
¿Cuál
es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?
c)
¿Cuál
es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?
d)
Si
x es igual a 50 cm , ¿cuál es el perímetro
y área de la plataforma?
Luego, se
puede pedir a los alumnos que resuelvan algunos ejercicios como por ejemplo:
Practica en :
Realicen divisiones de un polinomio entre un monomio al resolver problemas.
Actividad: Organizados en equipos, los alumnos
resolverán el siguiente problema.
¿Cuánto mide
el largo del siguiente rectángulo?
Para saber
más:
En caso de
tener tiempo, se puede plantear la realización de otro problema y algunos
ejercicios como por ejemplo:
Obtengan
la regla para calcular el cuadrado de la suma de dos números.
Actividad. Con las siguientes figuras (Fig. A,
Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez más grandes, ver por
ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta
información completen la tabla que aparece enseguida. Trabajen en equipos.
Núm. de cuadrado
|
Medida de un lado
|
Perímetro
|
Área
|
1
|
x + 1
|
4(x+1)=
|
(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1
|
2
|
|||
3
|
|||
4
|
|||
5
|
|||
6
|
|||
a
|
x + a
|
(x + a)2 = (x + a)(x + a) =
|
Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se
elevó al cuadrado una suma de dos números y en todos los casos el resultado
final, después de simplificar términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se
obtienen esos tres términos sin hacer la multiplicación?___________________
______________________________________________________________
Conviene que todos estén claros de que cuando se eleva al
cuadrado un binomio el resultado final son tres términos, de los cuales:
El
primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado
El segundo es el producto de los
dos términos del binomio, multiplicado por dos
El tercero es
el segundo término del binomio, elevado al cuadrado
Finalmente hay que decirles que esta expresión que resulta de
elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio
cuadrado perfecto.
Para
practicar más:
Obtengan la regla
para calcular el cuadrado de la diferencia de dos números.
Actividad. En equipos, resuelvan el siguiente
problema:
De
un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig.
A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra
en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B ?
Para consolidar lo aprendido hay que plantearles otros
ejercicios para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo:
a)
(x + 9)2 =
b)
(x – 10)2 =
c)
(2x
+y)2=
d)
(x
+ m)(x + m) =
e)
(x
- 6)(x -6 ) =
También se pueden proponer otros ejercicios en los que hagan
uso de la regla para calcular el resultado de elevar al cuadrado un binomio;
por ejemplo:
(1996)2
= (2000 – 4)2 =20002 - 2 x 4 x 200 + 42
Para practicar más:
Factoricen
trinomios cuadrados perfectos.
Actividad En equipos, resuelvan el siguiente
problema: La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un
cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es x2 +16x+64,
¿Cuánto
mide un lado de la figura completa? ______________
¿Cuánto
mide un lado del cuadrado grande?____________
¿Cuánto
mide un lado del cuadrado chico?_____________
Anoten
dentro de la figura el área de cada parte.
La expresión
x2 +16x+64 es un
trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como un producto de dos factores: _________________________
Como
resultado de esta actividad se espera que los alumnos aprecien que el cuadrado de un binomio da como
resultado un trinomio cuadrado perfecto y que un trinomio cuadrado perfecto
se puede expresar como el cuadrado de un binomio o como el producto de dos
factores iguales. Hay que decirles que este último proceso se llama factorización.
Después
de analizar el trabajo realizado por los alumnos es necesario plantearles varios
ejercicios, en primer lugar para que determinen si se trata de trinomios
cuadrados perfectos y en segundo lugar para factorizarlos.
Para practicar los productos notables:
Encuentren la
relación entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos
binomios conjugados.
Actividad. En equipos resuelvan el siguiente
problema:
De
un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en la figura 1.
Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la
figura 2. Con base en esta información contesten:
a)
¿Cuál
es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño?
________________________
b)
Anoten
las medidas del rectángulo de la figura 2
Largo:___________ ancho:_____________
c)
Expresen
el área de la figura 2.
A=_______________
d)
Escriban
al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos
cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de
la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______
______________________________________________________________
La figura 1 le da significado a la expresión x2 – y2,
mientras que la figura 2 le da significado a la expresión (x+y)(x-y), y, dado
que las áreas son iguales, se puede concluir que las expresiones que las
representan son equivalentes. Sin embargo, como en los casos anteriores, es
necesario que los alumnos resuelvan varios ejercicios, tanto para encontrar la
diferencia de cuadrados como el producto de los binomios conjugados. Por
ejemplo:
a)
(3m
+ 2n)(3m - 2n) =
b)
(4xy – 2x)(4xy + 2x) =
a) a2 – b2 =
b) x2 – 4n2 =
c) ____ – 16y2 = ( ___ + 4y
)(5x - ____ )
d) x2 – 400 =
e) 25x2
– 64 =
También se puede proponer a los alumnos ejercicios numéricos
como por ejemplo:
(101)(99)
= (100 + 1) (100 – 1) = 1002 – 12 = 10 000 – 1 = 9 999
Para
practicar:
A partir de un modelo
geométrico, factoricen un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios con un término
común.
Actividad. En equipo, resuelvan el siguiente
problema:
Con las figuras A, B, C y D se formó
un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesten y hagan lo que
se indica.
a)
¿Cuáles
son las dimensiones del rectángulo construido?
Base:_________ altura:_____________
b)
¿Cuál
es el área del rectángulo formado? __________________
a)
Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x2+8x+15,
¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?
Base:_______________ altura:________________
b)
Verifiquen que al
multiplicar la base por la altura obtienen x2+8x+15
c)
Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir
de un trinomio que no es cuadrado perfecto. ___________________________________
_____________________________________________________________
Para practicar más:
Se espera que los
alumnos encuentren que las dimensiones del rectángulo son: (x +7) y (x+5) y que el área es x2 + 12x + 35
Cuando la mayoría de los equipos haya terminado, hay que
hacer una puesta en común de los resultados y aclarar todas las dudas que
pudieran surgir.
Es conveniente aclarar que los dos binomios que representan
las dimensiones del rectángulo, son dos binomios con un término común (en este
caso x). Luego analizar la regla que
hayan escrito para factorizar el trinomio. Hay que tomar en cuenta que ésta es
una tarea compleja, pero quizá algunos alumnos se den cuenta que para encontrar
los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores
tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den
como resultado el tercer término del trinomio.
Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros
ejercicios para resolver en el salón y de tarea; por ejemplo:
Completa de manera que se cumpla la
igualdad en cada caso:
a) m²
– 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ )
b) c²
+ 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ )
c) x² - 22x +
120 = ( ___ - ___ )(x - 12)
d) x² + 11x + 18
= ( )( )
e) (4x2
+2y)( 4x2 – 2y)=
Excelente :)
ResponderEliminarMuchas gracias, excelente explicación :)
ResponderEliminarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
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