lunes, 13 de enero de 2014

ECUACIONES CUADRÁTICAS. FÓRMULA GENERAL

TERCER GRADO
BLOQUE 3
Tema: 1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
Formulen ecuaciones cuadráticas de la forma  

 
y que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos.



Actividad. Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y resuélvanlas.

a)    Un terreno rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?



b)    Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos años tiene Erick?


En el caso del primer problema se espera que los alumnos asignen valores a los lados del rectángulo, tales como x y x+2 y que planteen la ecuación x(x+2)=80. Esta ecuación permite probar con distintos valores y encontrar la solución. Sin embargo, hay que pedir que se hagan las operaciones necesarias para llegar a la expresión  
 y pedir que la resuelvan por factorización.
El problema del inciso b implica un camino más largo para formular la ecuación, ya que primero hay que representar las edades, por ejemplo x y x+2. Después plantear las relaciones que se establecen en el texto del problema: x2+(x+2)2=340 y finalmente efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la expresión  
    o     

 Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización, los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que deberá ser explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello, es necesario explicar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es ax2 + bx + c = 0, donde a ¹0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Luego, formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se indica en la siguiente tabla:

ax2
 bx
 C
Término de segundo grado o cuadrático
Término de primer grado o lineal
Término independiente

Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la fórmula general que es:





Para reafirmar lo anterior se puede dejar de tarea lo siguiente:

Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general.

Ecuación
a
b
c
2x2 + 2x + 3 = 0



5x2 + 2x = 0



36xx2 = 62




En la siguiente sesión conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula y hay que hacer las aclaraciones que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos soluciones o ninguna, en los números reales.


Asocien el valor del discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución de la ecuación.

Actividad: Organizados en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. Luego contesten lo que se pide:


ECUACIÓN
VALOR DEL DISCRIMINANTE
b² - 4ac
SOLUCIONES
3x² - 7x + 2 = 0

x1= _____, x2 = _____
4x² + 4x + 1 = 0

x1= _____, x2 = _____
3x2 -7x +5 = 0

x1= _____, x2 = _____

a)    Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________________________

b)    Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________________________

c)    Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________________________


Consideraciones Previas
Es muy probable que algunos alumnos calculen la raíz negativa sin considerar el signo; en ese caso, puede pedirse que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados imaginarios.
La discusión generada acerca de la relación que los alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a determinar tres tipos de soluciones:

Discriminante
Tipo de solución
b2 -4ac >0
Dos raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etc.
b2 -4ac =0
Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc.
b2 -4ac <0
Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución es imaginaria i). Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 – 4 i)/6)




Usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, al resolver problemas.

Actividad: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?



Consideraciones previas
Se espera que los alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema: 3x2 + 8x - 203 = 0 y utilicen la fórmula general para encontrar la solución a dicho problema.
En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces  cumple con las condiciones del problema.
Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes ecuaciones:

a)    3x2-5x+2=0
b)    x2+11x+24=0
c)    9x2-12x+4=0
d)    6x2 = x +222
e)    8x+5 = 36x2

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