BLOQUE 3
Tema:
1 Resolución de problemas que implican el uso de
ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas
ecuaciones.
Formulen ecuaciones cuadráticas de la forma
Actividad. Organizados
parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y
resuélvanlas.
a) Un
terreno rectangular mide 2 m
más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?
b) Erick
es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es
340, ¿cuántos años tiene Erick?
En el caso del primer problema se espera que los
alumnos asignen valores a los lados del rectángulo, tales como x y x+2
y que planteen la ecuación x(x+2)=80. Esta ecuación permite probar
con distintos valores y encontrar la solución. Sin embargo, hay que pedir que
se hagan las operaciones necesarias para llegar a la expresión
El problema del inciso b implica un camino más largo
para formular la ecuación, ya que primero hay que representar las edades, por
ejemplo x y x+2. Después plantear las relaciones que se establecen en el texto
del problema: x2+(x+2)2=340 y finalmente
efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la expresión
Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización,
los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que
deberá ser explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello,
es necesario explicar que la forma general de las ecuaciones cuadráticas es ax2 + bx + c =
0, donde a ¹0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Luego,
formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se
indica en la siguiente tabla:
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ax2
|
bx
|
C
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Término
de segundo grado o cuadrático
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Término
de primer grado o lineal
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Término
independiente
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Esto
llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación
de la fórmula general que es:
Para
reafirmar lo anterior se puede dejar de tarea lo siguiente:
Determina
los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la
fórmula general.
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Ecuación
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a
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b
|
c
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2x2 + 2x + 3
= 0
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5x2 + 2x = 0
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36x – x2 = 62
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En
la siguiente sesión conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque
es muy probable que cometan errores en
las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula y hay que hacer las aclaraciones
que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el
valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos
soluciones o ninguna, en los números reales.
Asocien el valor del
discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución
de la ecuación.
Actividad: Organizados
en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones
de cada ecuación. Luego contesten lo que se pide:
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ECUACIÓN
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VALOR DEL DISCRIMINANTE
b² - 4ac
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SOLUCIONES
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3x² - 7x + 2 = 0
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x1= _____, x2 = _____
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4x² + 4x + 1 = 0
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x1= _____, x2 = _____
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3x2 -7x +5 = 0
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x1= _____, x2 = _____
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a)
Si
el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la
ecuación? ______________________________
b)
Si
el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la
ecuación? ______________________________
c)
Si
el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la
ecuación? ______________________________
Consideraciones
Previas
Es muy probable que algunos alumnos calculen la raíz
negativa sin considerar el signo; en ese caso, puede pedirse que hagan la
comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se
aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece
a otro campo de números llamados imaginarios.
La discusión generada acerca de la relación que los
alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a
determinar tres tipos de soluciones:
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Discriminante
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Tipo de solución
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b2
-4ac >0
|
Dos
raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etc.
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b2
-4ac =0
|
Solución
única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc.
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b2
-4ac <0
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Sin
solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución
es imaginaria i). Por
ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 –
4 i)/6)
|
Usen la fórmula general de las
ecuaciones de segundo grado, al resolver problemas.
Actividad: Organizados
en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2 , ¿cuáles son
sus dimensiones?
Consideraciones
previas
Se espera que los alumnos encuentren la ecuación
cuadrática que resuelve el problema: 3x2
+ 8x - 203 = 0 y utilicen la fórmula
general para encontrar la solución a dicho problema.
En la confrontación se deberá hacer la observación
de que sólo una de las raíces cumple con
las condiciones del problema.
Con el fin de consolidar el uso de la fórmula
general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes
ecuaciones:
a) 3x2-5x+2=0
b) x2+11x+24=0
c) 9x2-12x+4=0
d) 6x2 = x +222
e) 8x+5 = 36x2
Lo podrían compartir ya echo
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