Fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos a partir de las correspondientes a prismas y pirámides.

Bloque V Tema 3 Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y                                            conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides

En este tema se espera que sean capaces de encontrar el procedimiento o la fórmula para calcular el volumen de un cilindro y de un cono.

Para ello es necesario identificar los conceptos de Capacidad y volumen.

El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo y capacidad es lo que cabe dentro de un recipiente.

Debemos tener en cuenta las siguientes relaciones entre capacidades y volúmenes.

1 cm³  = 1 ml

1 dm³  =  1 l

1 m³    =  1000 l

Ahora recordemos el procedimiento ´para realizar el cálculo del volumen de un prisma.

Observemos que el espacio ocupado por el cuerpo lo forman todos los cubos, así para encontrar el número de cubos, primero calculamos todos los cubos que tiene la base, es decir el área o superficie, 6x2 = 12 cubos, luego multiplicamos esta cantidad por la altura, que es 2, 12x2 = 24

Ahora analicemos otra figura

Ahora realizaremos el mismo procedimiento calcularemos el área o superficie del rectángulo, podemos observar que el rectángulo tiene las siguientes medidas 4 por 2, 4x2 = 8 cm², sólo nos falta multiplicar este resultado por la altura de la figura, 8x3= 24 cm³

^{Ahora apliquemos este procedimiento a un cilindro. Las siguientes figuras tienen una altura de 10 cm.}

El procedimiento es el mismo debemos calcular el área de la base, y luego multiplicarla por la altura.

Sólo que ahora la base es un círculo, recordemos cómo se calcula el área de un círculo

Área de un círculo = πr²

π es un valor que tiene muchos decimales, para efectos de facilitar los procedimientos utilizaremos el valor 3.1416

Para el caso del cilindro de la figura:

Area= (3.1416)(2)^{2 =} (3.1416)(4) = 12.5654 cm² 

^{Ab, el área de la base la calculamos con} Área de un círculo = πr²

^{Y listo podemos decir que la fórmula para calcular el volumen de un cilindro =(Ab)(h),} 

^{V = (Ab)(h)}     área de la base por la altura

V= (12.5652cm²) (10cm) = 125.652cm³

^,

^{Y que pasa para el cono?}

^{Recordemos cómo obtenemos el volumen de una pirámide.}

Es el mismo procedimiento sólo que recordemos que el volumen del cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y la misma altura, o que necesitamos tres conos para llenar un cilindro. 

^{Esta relación entre el cono y el cilindro se puede apreciar en el siguiente interactivo}

^{http://www.geogebra.org/m/k4ny7AKb}

Así que para el cono, sólo cambiaremos el cálculo de la base ya que ésta será un círculo.

Así que el área de la base Área de un círculo = πr^2,

^{Sólo multiplicaremos el área de la base por la altura del cono y luego dividiremos este resultado entre 3}

^{Volumen de un cono =} Ab)(h)

                                          3

Y listo, así de fácil.

En el caso de que no tenemos el apotema en estos polígonos regulares, es decir sólo nos dan el valor del lado, recordemos que este triángulo es un triángulo equilátero, es decir, tiene sus 3 lados iguales, así que nos apoyaremos en el teorema de Pitágoras para encontrar la altura de dicho triángulo.

Cómo se puede observar en la imagen se forma un triángulo rectángulo quedando de la siguiente forma.

Utilizando el teorema de Pitágoras que dice "el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"obtenemos lo siguiente.

8² = 4² + h² 

^{64 = 16 +} h^{2 , donde h corresponde a la altura del triángulo.}

^{64-16 =} h² 

h² = 48    sacamos la raiz cuadrada para obtener el valor de h

h = 6.92 cm

Practica en tu libro con los ejercicios planteados para este tema.

Recordemos que las áreas de los polígonos regulares como el pentágono y el  hexágono, debemos multiplicar el perímetro de la figura por el apotema y luego dividir entre 2

Realiza las actividades de tu libro 3.1, 3.2, 3.3, 3.5, 3.6 y lo que aprendí.