TERCER GRADO
TEMA 4 Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.
A través de la observación
de un experimento, tenga un primer acercamiento hacia la homotecia.
Actividad Realicen el
siguiente experimento:
- Utilizando la pared como
pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo: un vaso, el borrador,
un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella.
Después, iluminen dicho objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él
en línea recta, de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la
pared.
- Enseguida, acerquen y alejen
la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos.
- Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen
y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede en ambos casos.
- Midan las distancias
entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la
longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las
distancias es igual a la razón entre las longitudes.
Consideraciones
previas: En
función del espacio y del material con que cuente el grupo, el maestro
determinará la pertinencia de usar una pantalla o algún otro recurso disponible
(cartulina, fólder, entre otros). El objeto que se proyectará deberá ser de
dimensiones que faciliten su manejo por los alumnos. La lámpara podrá ser
sustituida por otro dispositivo que emane luz directa (foco, vela,
retroproyector, etc.).
El
propósito es que los alumnos verifiquen que la razón entre m
y n es la misma que hay entre a y b, como se muestra en el siguiente dibujo..
También pueden coordinarse con el profesor de física para realizar el experimento de la
formación de imágenes en la caja negra.
Identifiquen y sepan calcular la razón
de homotecia.
Analicen la siguiente figura y contesten las preguntas
planteadas.
El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de
mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del
arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda
coincide en un punto O.
a)
¿Cuál
es la razón entre OA’ y OA?______________________________
b)
Elijan
otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que guardan la misma
razón que OA’ y OA.
c)
Comparen
la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre ambas medidas.________________________________________
Consideraciones
previas: Es
importante que verifiquen que todas las razones del tipo: punto de
convergencia-sombra sobre punto de convergencia-objeto, son constantes y que
éstas coinciden con las razones que se pueden establecer entre una longitud de
la sombra y su correspondiente en el objeto. Por otra parte, a las razones del tipo OA’/OA se les
llama razón de homotecia, mientras que al punto O donde convergen los segmentos,
se le llama centro de homotecia. Además, la sombra proyectada lleva el nombre
de figura homotética.
Asimismo, es importante que concluyan que dos figuras homotéticas son
semejantes, basándose en la razón entre las medidas de sus lados.
Determinen la razón de homotecia, las características que permanecen
invariables y las que cambian en las figuras homotéticas.
Realicen
la siguiente actividad.
Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el
punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan
lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después,
unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten
las preguntas.
a)
¿Qué
relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos?_________________________________________________
b)
¿Cómo
son los ángulos de las dos figuras?_______________________
c)
¿Qué
relación existe entre los perímetros de ambas figuras?_______________________________________________
d)
¿Qué
relación existe entre las áreas de ambas figuras?___________________________________________________
e)
¿Cuál
es la razón de homotecia? _____________________________
Consideraciones
previas: Se pretende que construyan una figura homotética y
encuentren la razón de homotecia. También deberán analizar las características
que varían en una homotecia y las que se conservan (la medida de los ángulos
permanece invariante, mientras que, en este caso, la medida de los lados y por
tanto el perímetro en la imagen se duplican; el área se cuadruplica). Es
importante que en la puesta en común, concluyan que es lo mismo decir
que los lados de ABCD miden la mitad que los de A’B’C’D’, o bien, que los lados
de A’B’C’D’ miden el doble que los de ABCD y que esta relación se conserva en
el perímetro de las figuras.
Construyan una figura homotética con
razón igual a -1 e identifiquen las características que permanecen y las que
cambian.
Consigna: Organizados en equipo realicen
la siguiente actividad:
Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los
segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia.
Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.
a)
¿En
qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original?________________________________________________
b)
¿Dónde
quedó el punto de homotecia con respecto de las dos
figuras?_________________________________________________
c)
¿Cuál
es la distancia OA?__________________________________
d)
¿
Y cuál la de OA’?________________________________________
e)
Si
consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, ¿cuál es
el sentido que tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?__________________
f)
¿Cuál
es la razón de homotecia? ___________________________
g)
¿Cuál
es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es su área?_________________________
Consideraciones
previas:
En este caso, van a observar que la figura
homotética se encuentra al otro extremo del centro de homotecia, está invertida
con respecto a la original. Se puede concluir que la medida de los ángulos se conserva y cuando la distancia al
punto de homotecia es la misma, también la medida de los lados de la figura se
conserva.
Es necesario tomar como referencia la
recta numérica, teniendo el centro de homotecia como origen, el punto A
positivo y el punto A’ negativo; posteriormente se les puede pedir que
realicen la división del valor negativo OA’ entre el valor positivo OA,
haciendo hincapié en que la razón resultante es negativa (k = -1)
Comprueben
que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de
sus razones.
Analicen el siguiente
dibujo y contesten las preguntas.
La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura
homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2).
Se sabe que OP = 4 cm,
OP’ = 8 cm,
P’P’’ = 8 cm
y QR = 3cm.
1.
¿Cuál
es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1?_______
2.
¿Cuál
es la razón de homotecia de la figura 3
con respecto a la 2?________
3.
¿Cuál
es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1?________
4.
Si
el segmento QR mide 2.6cm, ¿Cuánto mide el segmento Q’’R’’?____________
Consideraciones
previas:
Es necesario resaltar el hecho de que las dos imágenes
proyectadas tienen un mismo centro de homotecia. A esto se
le conoce como composición de homotecias con un mismo centro.
Se espera que concluyan que la distancia Q’’R’’puede
calcularse considerando tanto la razón homotética de 3 a 1 por la distancia QR, como
la razón homotética de 3 a
2 por la distancia Q’R’.
De igual modo se espera que se den cuenta de que el
producto de las razones homotéticas de las figuras 2 a 1 por 3 a 2 es igual a la razón de
homotecia de las figuras 3 a
1.
Actividades complementarias: Con el apoyo del software CabriGeometre, se pueden efectuar
ejercicios de homotecia positiva y negativa.
En la
siguiente página web se puede analizar con mayor detenimiento las relaciones de
homotecia entre figuras:
http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm
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