PRIMER GRADO B4
TEMA 6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.
Utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que
impliquen obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los
elementos de un conjunto dado.
Actividad:
Organizados
en equipos resuelvan los siguientes problemas.
- Samuel vende arreglos florales y para esta semana ha conseguido las siguientes clases de flores:
Si en cada arreglo utiliza
solamente dos tipos de flores, ¿cuántos arreglos diferentes podrá elaborar?
___________________________________________
- En una
nevería se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limón, nuez y
chocolate. ¿De cuántas formas diferentes se puede servir un helado de dos
sabores distintos? __________________________________________
- De los seis
representantes de los grupos de primer grado, se va a formar una comisión
de tres alumnos que se entrevistará con el director para solicitarle una
fiesta de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede integrar la
comisión? _______________
- ¿Cuántos
grupos de dos cifras se pueden hacer con las cifras 1, 2 y 3?
a)
Si las cifras de cada grupo son diferentes.
b)
Si las cifras de cada grupo pueden ser
iguales.
Puedes practicar en la siguiente dirección.
Consideraciones
previas:
El trabajo de este plan consiste en que, dado un
conjunto de elementos, se formen todos los subconjuntos posibles con un número
determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden, es decir, se trata de
averiguar la cantidad de combinaciones.
En el primer problema hay un conjunto de cuatro
elementos y hay que determinar subconjuntos con dos elementos. Se
trata de formar arreglos en los que se combinen solamente dos de los cuatro
tipos de flor. Dada esta condición, es muy probable que los alumnos se animen a
solucionar el problema a través de dibujos, escribiendo una por una las seis
posibilidades o bien utilizar un diagrama de árbol, cuidando que no se repitan
las combinaciones.
El número de arreglos que se pueden hacer con dos
tipos de flor son seis.
Otro recurso que también podrían utilizar los
alumnos y si no el profesor puede sugerir es un arreglo rectangular
Utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.
Actividad:
Organizados
en equipos resuelvan los siguientes problemas.
- ¿Cuántas
banderas diferentes de tres franjas, se pueden formar con los colores
rojo, azul, verde y blanco? Cada bandera debe tener tres colores, uno en
cada franja. ________________________________________________________
- Considerando
las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres y cuatro
cifras distintas es posible formar?
___________________________________________
______________________________________________________________________
- En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta
con un lugar de estacionamiento. Se han habitado dos departamentos,
únicamente, el de Carmen y el de Daniel, quienes pueden colocar cada noche
sus coches en el lugar que prefieran, si no está ocupado. ¿De cuántas formas
diferentes pueden estacionarse? ____________
Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden
estacionar los coches los tres vecinos? _______________________ ¿Resultan más o
menos maneras que en el caso anterior? __________________ ¿Cuántas maneras
habrá de estacionarse cuando todos los departamentos estén ocupados, si todos
los vecinos tienen coche? _______________________________
Consideraciones
previas:
A diferencia de los problemas del plan anterior, en
éstos sí importa el orden de los elementos de los subconjuntos, por ejemplo,
los números 357 y 573 son diferentes aunque se utilicen las mismas cifras, por
lo tanto, ahora se trata de averiguar la cantidad de variaciones, dado un conjunto de elementos.
En el segundo problema se tiene un conjunto de cinco elementos (1, 3, 5,
7 y 9) y se trata de determinar el número de subconjuntos diferentes (números)
con tres y cuatro cifras. Una primera pregunta que pueden hacer los alumnos es si
es válido formar números con cifras repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera,
hay que decir que no, puesto que el problema no lo considera. También es
probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los
alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran
de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Es posible que algunos
alumnos propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los alumnos
no utilicen el diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones,
el profesor puede proponer un diagrama en blanco para que vayan formando las
cantidades
Para encontrar los números de tres cifras el profesor
puede sugerir el uso del diagrama de árbol, para el caso de cuatro cifras será
conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen, obligándolos a que usen
multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que
pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el principio
fundamental de conteo:
El total de variaciones con cuatro cifras puede
obtenerse con 5 x 4 x 3 x 2 = 120.
En los problemas donde no hayan usado multiplicaciones
para encontrar el resultado, vale la pena hacerlo para comprobar los resultados
y para generalizar el procedimiento.
En el problema 3, dado un conjunto de cinco elementos
(estacionamientos), se requiere formar subconjuntos de dos, tres y cinco
elementos (autos). Hay que señalar que en la última pregunta se involucran
todos los elementos del conjunto, es decir, se trata de buscar todos los
arreglos de cinco elementos, tomados de cinco en cinco. Este tipo de arreglos
se llaman permutaciones, contenido del siguiente plan.
No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan
a profundidad los procesos que siguieron los alumnos para resolver el problema.
En
ninguno de los tres problemas se acepta repetición de elementos, una bandera no
puede tener dos franjas del mismo color, un número no debe tener cifras iguales
y un auto no puede estacionarse en dos lugares a la vez.
Utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.
Actividad:
Organizados
en equipos resuelvan los siguientes problemas.
- Andrea, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las tres amigas
llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos
posibles en que pudieron haber llegado.
- ¿Cuántos
números de cuatro cifras diferentes se pueden formar con las cifras 2, 3,
5 y 7? _____________________________ Con las mismas cifras, ¿cuántos
números de cuatro cifras se podrían formar pudiendo repetir cifras en un
mismo número? ___________________________
- Al final del curso escolar se organizará la escolta de la escuela
“Vicente Guerrero”, para ello se eligió a seis alumnos de segundo grado.
a) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse los alumnos en la
escolta? _________
b) Si la abanderada es Mariana porque tuvo el promedio más alto, ¿de
cuántas formas pueden colocarse en la escolta los demás integrantes sin cambiar
dicha posición? _____________________________________
c) Juan tiene un volumen de voz fuerte, por lo que se decide ponerlo de
sargento. Si Mariana es la abanderada y Juan el sargento, ¿de cuántas maneras
diferentes pueden colocarse los otros cuatro integrantes?
_________________________
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